Question

已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点．
（Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G，F，H三点共线；
（Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，由A、O、B三点的坐标，可得△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标；分b=

1

2

与b≠

1

2

两种情况讨论，易得证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中kFH=

c2+3b2-3b

c(1-2b)

=0（c≠0，b≠

1

2

），得3(b2-b)+c2=0(c≠0，b≠

1

2

)，进而化简可得

(b- 1 2 )2

( 1 2 )2

+

c2

( 3 2 )2

=1；结合椭圆的方程，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由△OBC三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c≠0），
可求得重心G(

b+1

3

，

c

3

)，
外心F(

1

2

，

b2+c2-b

2c

)，
垂心H(b，

b-b2

c

)．
当b=

1

2

时，G，F，H三点的横坐标均为

1

2

，故三点共线；
当b≠

1

2

时，设G，H所在直线的斜率为k_GH，F，G所在直线的斜率为k_FG．
因为kGH=

c 3 - b-b2 c

b+1 3 -b

=

c2+3b2-3b

c(1-2b)

，
kFG=

c 3 - b2+c2-b 2c

b+1 3 - 1 2

=

c2+3b2-3b

c(1-2b)

，
所以k_GH=k_FG，G，F，H，三点共线．
综上可得，G，F，H三点共线．
（Ⅱ）解：若FH∥OB，由kFH=

c2+3b2-3b

c(1-2b)

=0，
得3(b2-b)+c2=0(c≠0，b≠

1

2

)
配方得3(b-

1

2

)2+c2=

3

4

，即

(b- 1 2 )2

( 1 2 )2

+

c2

( 3 2 )2

=1．
即

(x- 1 2 )2

( 1 2 )2

+

y2

( 3 2 )2

=1(x≠

1

2

，y≠0)．
所以，顶点C的轨迹是中心在(

1

2

，0)，长半轴长为

3

2

，短半轴长为

1

2

，且短轴在x轴上的椭圆，
但除去（0，0），（1，0），(

1

2

，

3

2

)，(

1

2

，-

3

2

)四点．

点评：本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力；解题时，首先注意轨迹的求法及轨迹与轨迹方程的区别，其次要结合重心、垂心、外心的性质来解题．