Question

已知函数f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）
（1）当a=1时，求函数f（x）的最值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）试说明是否存在实数a（a≥1）使y=f（x）的图象与无公共点．

Answer 1

解：（1）函数f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）的定义域是（1，+∞）
当a=1时，，所以f（x）在为减函数
在为增函数，所以函数f（x）的最小值为=．
（2），
若a≤0时，则，f（x）=＞0在（1，+∞）恒成立，所以f（x）的增区间为（1，+∞）．
若a＞0，则，故当，f′（x）=≤0，
当时，f（x）=≥0，
所以a＞0时f（x）的减区间为，f（x）的增区间为

（3）a≥1时，由（2）知f（x）在（1，+∞）的最小值为，
令=在[1，+∞）上单调递减，
所以，则＞0，
因此存在实数a（a≥1）使f（x）的最小值大于，
故存在实数a（a≥1）使y=f（x）的图象与无公共点
分析：（1）先求出函数的定义域，再把a=1代入求出其导函数以及单调区间，即可求出函数f（x）的最值；
（2）先求出函数的导函数，再利用分类讨论思想讨论导函数对应方程根的大小，进而求出函数f（x）的单调区间；
（3）先由（2）得f（x）在（1，+∞）的最小值为，再求出在[1，+∞）上的最大值，让其与的值相比较即可求得结论．
点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性和最值的应用．求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．