Question

已知在递增等差数列{a_n}中，前三项的和为9，前三项的积为15，{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ⁺¹-2．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式； 
（2）设c_n=

1

anan+1

，求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设递增等差数列{a_n}的公差为d，利用前三项的和为9，前三项的积为15，利用等差数列的通项公式可得a₁+a₁+d+a₁+2d=9，a₁（a₁+d）（a₁+2d）=15，
{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ⁺¹-2．b₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）c_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（1）设递增等差数列{a_n}的公差为d，
∵前三项的和为9，前三项的积为15，
∴a₁+a₁+d+a₁+2d=9，
a₁（a₁+d）（a₁+2d）=15，
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∵{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ⁺¹-2．
∴b₁=S₁=2²-2=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ．
当n=1时，上式也成立．
∴b_n=2ⁿ．
（2）c_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴{c_n}的前n项和T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．