Question

11．设函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有xf′（x）＞x²+3f（x），则不等式8f（x+2014）+（x+2014）³f（-2）＞0的解集为（　　）

• A． （-∞，-2016）
• B． （-2018，-2016）
• C． （-2018，0）
• D． （-∞，-2018）

Answer 1

分析 根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．

解答 解：由xf′（x）＞x²+3f（x），（x＜0），
得：x²f′（x）-3xf（x）＜x³，
∵x＜0，
∴x³＜0，
即x²f′（x）-3xf（x）＜0，
设F（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，
则即[$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$]′=$\frac{x{[x}^{2}f′（x）-3xf（x）]}{{x}^{6}}$＞0，
则当x＜0时，得F'（x）＞0，即F（x）在（-∞，0）上是增函数，
∴F（x+2014）=$\frac{f（x+2014）}{{（x+2014）}^{3}}$，F（-2）=$\frac{f（-）}{{（-2）}^{3}}$=-$\frac{f（-2）}{8}$，
即不等式8f（x+2014）+（x+2014）³f（-2）＞0等价为F（x+2014）-F（-2）＜0，
∵F（x）在（-∞，0）是增函数，
∴由F（x+2014）＜F（-2）得，x+2014＜-2，
即x＜-2016，
故选：A．

点评 本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．