Question

19．已知函数$f（x）=ax+\frac{b}{x}$（其中a，b为常数）的图象经过（1，2），$（{2\;，\;\;\frac{5}{2}}）$两点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明函数f（x）在（1，+∞）是增函数；
（3）若不等式$\frac{{{{25}^m}}}{3}-{5^m}≥f（x）$对任意$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;\;3}]$恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把已知两点的坐标代入函数解析式，得到关于a，b的方程组，求解a，b即可得到函数f（x）的解析式；
（2）直接利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（1，+∞）是增函数；
（3）由（Ⅱ）知，函数f（x）在[1，3]上为增函数，可证f（x）在$[{\frac{1}{2}\;，\;\;1}）$上是减函数．求出f（x）在给定区间上的最大值，由$\frac{2{5}^{m}}{3}-{5}^{m}$大于等于f（x）在给定区间上的最大值得答案．

解答 （1）解：由题意得，$\left\{\begin{array}{l}a+b=2\;，\;\;\\ 2a+\frac{b}{2}=\frac{5}{2}\;．\;\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\;，\;\;\\ b=1\;．\;\end{array}\right.$
∴函数的解析式为$f（x）=x+\frac{1}{x}$．…（2分）
（2）证明：设x₁，x₂是（1，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，…（3分）
于是$f（{x_2}）-f（{x_1}）=（{{x_2}+\frac{1}{x_2}}）-（{{x_1}+\frac{1}{x_1}}）$=${x_2}-{x_1}+\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}={x_2}-{x_1}+\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{（{{x_2}-{x_1}}）（{x_1}{x_2}-1）}}{{{x_1}{x_2}}}$．…（4分）
∵x₁，x₂∈（1，+∞），
∴x₁x₂＞0，x₁x₂-1＞0．
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0．
∴f（x₂）-f（x₁）＞0．…（5分）
即f（x₂）＞f（x₁）．
∴函数f（x）在区间（1，+∞）内是增函数．…（6分）
（3）解：由（Ⅱ）知，函数f（x）在[1，3]上为增函数，
同理可证f（x）在$[{\frac{1}{2}\;，\;\;1}）$上是减函数．…（7分）
∴函数$f{（x）_{max}}=max\left\{{f（{\frac{1}{2}}）\;，\;\;f（3）}\right\}=\frac{10}{3}$．
不等式$\frac{{{{25}^m}}}{3}-{5^m}≥f（x）$对任意$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;\;3}]$恒成立，
等价于$\frac{{{{25}^m}}}{3}-{5^m}≥f{（x）_{max}}=\frac{10}{3}$．…（8分）
于是（5^m）²-3×5^m-10≥0，
即（5^m-5）（5^m+2）≥0，
∵5^m+2＞0，∴5^m-5≥0．
∴m≥1．
∴实数m的取值范围是[1，+∞）．…（10分）

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了函数解析式的求解及常用方法，训练了利用函数单调性的定义证明函数的单调性，考查数学转化思想方法，属中档题．