Question

8．已知f（x）=-x²-3，g（x）=2xlnx-ax且函数f（x）与g（x）在x=1处的切线平行．
（Ⅰ）求函数g（x）在（1，g（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，g（x）-f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求出a的值，从而求出切线方程即可；
（Ⅱ）先把已知等式转化为a≤x+2lnx+$\frac{3}{x}$，设g（x）=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，x∈（0，+∞），对函数进行求导，利用导函数的单调性求得函数的最小值，只要a小于或等于最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-2x，
故k=f′（1）=-2，
而g′（x）=2（lnx+1）-a，故g′（1）=2-a，
故2-a=-2，解得：a=4，
故g（1）=-a=-4，
故g（x）的切线方程是：y+4=-2（x-1），
即2x+y+2=0；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，g（x）-f（x）≥0恒成立，
等价于a≤x+2lnx+$\frac{3}{x}$，
令g（x）=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，x∈（0，+∞），
g′（x）=1+$\frac{2}{x}$-$\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调减，
当x=1时，g′（x）=0，
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调增，
∴g（x）_min=g（1）=4，
∴a≤4．

点评 本题主要考查了利用导函数求最值的问题．考查了学生对函数基础知识的理解和灵活运用．