Question

20．已知圆C：x²+y²-ax+2y-a+4=0关于直线l₁：ax+3y-5=0对称，过点P（3，-2）的直线l₂与圆C交于A，B两点，则弦长|AB|的最小值为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 圆C：x²+y²-ax+2y-a+4=0关于直线l₁：ax+3y-5=0对称，直线必过圆心，可求解a的值，可得圆心坐标和半径．过点P（3，-2）的直线l₂与圆C交于A，B两点，则弦长|AB|的最小其直线l₂与同时过P点，圆心的直线垂直，可求直线l₂的方程，利用弦长公式可得答案．

解答 解：圆C：x²+y²-ax+2y-a+4=0，其圆心O为（$\frac{a}{2}$，-1），半径r=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+4-（4-a）^{2}}$
∵圆C关于直线l₁：ax+3y-5=0对称，
∴有$\frac{{a}^{2}}{2}-3-5=0$，
解得：a=±4，
当a=-4时，半径小于0．
∴a=4
得圆心O为（2，-1）半径r=$\sqrt{5}$．
∵点P（3，-2），弦长|AB|的最小，其直线l₂与同时过P点和圆心的直线垂直．
K_OP=-1，
则直线l₂的方程为y+2=x-3，即x-y-5=0．
圆心O到直线直线l₂的距离d=$\frac{|2+1-5|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}$
弦长|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴弦长|AB|的最小值为$2\sqrt{3}$．
故答案为$2\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，根据过点P（3，-2）的直线l₂与圆C交于A，B两点，则弦长|AB|的最小其直线l₂与同时过P点和圆心的直线垂直是解决本题的关键．