Question

12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为$a，b，c，\frac{a-b+c}{c}=\frac{b}{a+b-c}$，若a=2，则△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由已知化简可得：b²+c²-a²=bc，由余弦定理可求cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），可求A=$\frac{π}{3}$，由余弦定理，基本不等式可求bc≤4，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：∵$\frac{a-b+c}{c}=\frac{b}{a+b-c}$，可得：b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$，
∵a=2，
∴由余弦定理可得：4=b²+c²-bc，
∴4=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，即：bc≤4，当且仅当b=c等号成立，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，当且仅当b=c等号成立，则△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．