Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC、BD相交于点O，点E、F、G分别为PC、AD、PD的中点，OP=OA，PA⊥PD．
求证：（1）FG∥平面BDE；
（2）平面BDE⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）通过线线平行去证明线面平行即可．只需证明FG||OE即可．
（2）面面垂直转化为线面垂直，只需证明OE垂直平面PCD即可

解答 解：（1）∵点E、F、G分别为PC、AD、PD的中点，四边形ABCD为平行四边形
∴GE||DC，且GE=$\frac{1}{2}$DC，
OF||DC，且OF=$\frac{1}{2}$DC，
∴OF||GE且GE=OF
故得四边形OFGE为平行四边形．
∴FG∥EO，
EO∈平面BDE，FG∉平面BDE，
∴FG∥平面BDE；
（2）由题意，FG∥AP，PA⊥PD，
∴FG⊥PD，
∵FG∥EO，
∴EO⊥PD，
又OP=OA，取AP的中点Q，连接OQ，
则OQ⊥AP，OQ∥PC，
∴PC⊥AP，
AP∥FG∥EO，
∴EO⊥PC，
∵$\left\{\begin{array}{l}{PC∈平面PCD}\\{PD∈平面PCD}\\{PD∩PC=P}\end{array}\right.$，
∴EO⊥平面PCD．
∵EO∈平面PCD，
故而平面BDE⊥平面PCD．

点评 本题考查了线面、面面平行，线面、面面垂直等简单的立体几何知识，考查学生对书本知识的掌握情况以及空间想象、推理能力，是中档题．