Question

16．已知圆C：（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²=1和两点A（-t，0），B（t，0）（t＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则当t取得最大值时，点P的坐标是（　　）

• A． （$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）
• B． （$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3}{2}$）
• C． （$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）
• D． （$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 根据圆心C到O（0，0）的距离为2，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为3．再由∠APB=90°，可得PO=$\frac{1}{2}$AB=t，可得t≤3，从而得到答案．

解答 解：圆C：（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²=1，其圆心C（$\sqrt{3}$，1），半径为1，
∵圆心C到O（0，0）的距离为2，
∴圆C上的点到点O的距离的最大值为3．
再由∠APB=90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=$\frac{1}{2}$AB=t，故有t≤3，
∴A（-3，0），B（3，0）．
∵圆心C（$\sqrt{3}$，1），直线OP的斜率k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线OP的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$
联立：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{（x-\sqrt{3}）^{2}+（y-1）^{2}=1}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
故选D．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的灵活运用，根据两点A（-t，0），B（t，0）与圆的最大值距离求出t是解决本题的关键．