Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，AB=1，$∠ABC=\frac{π}{3}$，E为PD中点，PA=1．
（I）求证：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）在棱PC上是否存在点M，使得直线PC⊥平面BMD？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （I）连接BD，交AC于点O，连接EO，由ABCD为菱形，可得：O为BD中点，利用中位线的性质可证EO∥PB，利用线面平行的判定即可证明PB∥平面AEC；
（Ⅱ）若在棱PC上存在点M，使得直线PC⊥平面BMD，只需PC⊥BM即可．若PC⊥BM，由于PC⊥BO，可得PC⊥OM，由△COM∽△PAC，可得$\frac{CM}{AC}=\frac{CO}{PC}$，根据已知可求CM的值，即可得解．

解答 解：（I）证明：如图，连接BD，交AC于点O，连接EO，
∵ABCD为菱形，可得：O为BD中点，
又∵E为PD中点，
∴EO∥PB，
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC；
解：（Ⅱ）在棱PC上存在点M，当CM=$\frac{\sqrt{2}}{4}$时，使得直线PC⊥平面BMD，理由如下：
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA，
又∵ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，
∴由PA∩AC=A，可得：BD⊥平面PAC，
∴由PC?平面PAC，可得：BD⊥PC，
∴若在棱PC上存在点M，使得直线PC⊥平面BMD，只需PC⊥BM即可．
∵若PC⊥BM，由于PC⊥BO，
∴PC⊥平面BOM，可得PC⊥OM，
∴△COM∽△PAC，可得：$\frac{CM}{AC}=\frac{CO}{PC}$，可得：$\frac{CM}{1}=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}$，解得：CM=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴在棱PC上存在点M，当CM=$\frac{\sqrt{2}}{4}$时，使得直线PC⊥平面BMD．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．