Question

已知函数y=sin2x+

1

2

sinx+1(x∈R)，若当y取得最大值时x=α，当y取得最小值时x=β，且α，β∈[-

π

2

，

π

2

]，则sin（α-β）=

15

4

．

Answer 1

分析：根据sinx的值域，利用二次函数的性质求出y的最大值时x的值，确定出α的值，求出y最小值时x的值，确定出β的值，即可求出sin（α-β）的值．

解答：解：函数y=（sinx+

1

4

）²+

15

16

，
∵-1≤sinx≤1，
∴当sinx=-

1

4

时，函数y取得最小值

15

16

；当sinx=1时，函数y取得最大值为

5

2

，
∴sinα=1，sinβ=-

1

4

，
∵α，β∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴cosα=0，cosβ=

15

4

，
则sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=1×

15

4

-0=

15

4

．
故答案为：

15

4

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二次函数的性质，熟练掌握公式是解本题的关键．