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已知函数 $数学公式$ ．
（I）求函数f（x）的单调区间和极值；
（II）若?x＞0，均有ax（2-lnx）≤1，求实数a的取值范围．

解：（I）依题意，x＞0，f′（x）= $\text{[math]}$
由f′（x）＞0得 $\text{[math]}$ ，解得x $\text{[math]}$ ，函数f（x）的单调增区间为（ $\text{[math]}$ ，+∞）
由f′（x）＜0得 $\text{[math]}$ ，解得x $\text{[math]}$ ，函数f（x）的单调减区间为（0， $\text{[math]}$ ）
∴当x= $\text{[math]}$ 时，函数f（x）的极小值为f（ $\text{[math]}$ ）=aln $\text{[math]}$ +a=a-alna
（II）设g（x）=ax（2-lnx）=2ax-axlnx，则函数定义域为（0，+∞）
g′（x）=2a-（ax• $\text{[math]}$ +alnx）=a（1-lnx）
由g′（x）=0，解得x=e，
由a＞0可知，当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，
∴函数g（x）的最大值为g（e）=ae（2-lne）=ae
要使不等式恒成立，只需g（x）的最大值不大于1即可，即g（e）≤1
也即ae≤1，解得 a≤ $\text{[math]}$
又∵a＞0
∴0＜a≤ $\text{[math]}$
分析：（I）先求函数的导函数f′（x），再解不等式f′（x）＞0，得函数的单调增区间，解不等式f′（x）＜0得函数的单调减区间，最后由极值定义求得函数极值
（II）构造新函数g（x）=ax（2-lnx），将恒成立问题转化为求新函数的最大值问题，利用导数先求此函数的单调区间，再确定其最大值，最后解不等式求得实数a的取值范围
点评：本题考查了函数的定义域、单调性、极值，以及导数在其中的应用，由不等式恒成立问题与最值问题求解参数的取值范围的方法

练习册系列答案

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（1）求出g（3）的值；
（2）求g（n）的表达式；
（3）若对于任意的n∈N^*，不等式（C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ）l≥g（n）-25（其中C_nⁱ，i=1，2，3，…，n为组合数）都成立，求实数l的最小值．

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