Question

18．过点M（0，1）的直线l与圆心在原点的圆相交于A、B两点，若弦长|AB|=$\sqrt{14}$，△A0B的面积为$\frac{\sqrt{7}}{2}$，求直线l与圆的方程．

Answer 1

分析 设直线l为y=kx+1，圆的方程为x²+y²=r²，由点到直线的距离公式和弦长公式，以及三角形的面积公式，就是即可得到所求．

解答 解：直线l的斜率显然存在，设为y=kx+1，
圆的方程为x²+y²=r²，
圆心O到直线的距离为d=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，①
由弦长公式可得2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=$\sqrt{14}$，②
△A0B的面积为S=$\frac{1}{2}$•d•$\sqrt{14}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，③
解得d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，k=±1，r=2，
即有直线l的方程为y=±x+1，
圆的方程为x²+y²=4．

点评 本题考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式和弦长公式，属于中档题．