Question

6．x，y，z∈R，则（$\frac{{x}^{2}-2xy-4xz+8yz}{{y}^{2}-4yz+4{z}^{2}}$）_min=-1．

Answer 1

分析 对分子进行因式分解，x²-2xy-4xz+8yz=（x-2y）（x-4z）=-（2y-x）（x-4z），根据（a+b）²≥4ab便可得出-（2y-x）（x-4z）≥-（y-2z）²，而分母y²-4yz+4z²=（y-2z）²＞0，这样便可得出$\frac{{x}^{2}-2xy-4xz+8yz}{{y}^{2}-4yz+4{z}^{2}}≥-1$，从而得出最小值为-1．

解答 解：x²-2xy-4xz+8yz=x（x-2y）-4z（x-2y）=（x-2y）（x-4z）=-（2y-x）（x-4z）；
∵$（2y-x）（x-4z）≤\frac{（2y-x+x-4z）^{2}}{4}$=（y-2z）²；
∴-（2y-x）（x-4z）≥-（y-2z）²；
∴x²-2xy-4xz+8yz≥-（y-2z）²=-（y²-4yz+4z²）；
∴$\frac{{x}^{2}-2xy-4xz+8yz}{{y}^{2}-4yz+4{z}^{2}}≥-1$；
∴$（\frac{{x}^{2}-2xy-4xz+8yz}{{y}^{2}-4yz+4{z}^{2}}）_{min}=-1$．
故答案为：-1．

点评 考查对一个多项式进行因式分解的能力，对于本题的求最小值，可以想着让分子出现和分母相同的项，从而进行约分得到常数，由不等式a²+b²≥2ab能得到（a+b）²≥4ab．