Question

16．设x＞0，若f（x）=x²+$\frac{4}{{x}^{2}}$-x（cosθ+1）-$\frac{2}{x}$（sinθ+1）≥M恒成立，则实数M的取值范围是（-∞，2-2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 先根据三角函数的性质，得到f（x）≥x²+$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}}$-（x+$\frac{2}{x}$），令t=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}}$≥$\sqrt{4}$=2，构造函数g（t）=t²-t-$\sqrt{{t}^{2}+4}$，t≥2，根据函数的单调性质求出g（t）的最小值，问题得以解决．

解答 解：f（x）=x²+$\frac{4}{{x}^{2}}$-x（cosθ+1）-$\frac{2}{x}$（sinθ+1）≥=x²+$\frac{4}{{x}^{2}}$-xcosθ-$\frac{2}{x}$sinθ-x-$\frac{2}{x}$=x²+$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}}$cos（θ+φ）-（x+$\frac{2}{x}$）≥x²+$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}}$-（x+$\frac{2}{x}$），
∵f（x）≥M恒成立，
即f（x）_min≥M，
令t=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}}$≥$\sqrt{4}$=2，
∴g（t）=t²-t-$\sqrt{{t}^{2}+4}$，t≥2，
∴g′（t）=2t-1-$\frac{t}{\sqrt{{t}^{2}+4}}$=（2-$\frac{1}{\sqrt{{t}^{2}+4}}$）t-1
∴g′（2）=（2-$\frac{1}{2\sqrt{2}}$）×2-1=3-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞0，
∴g（t）在[2，+∞）上单调递增，
即g（t）_min=2²-2-2$\sqrt{2}$=2-2$\sqrt{2}$，
∴f（x）_min=2-2$\sqrt{2}$，当t=2时，x=$\sqrt{2}$时，cos（θ+φ）=1时取等号，
∴实数M的取值范围是（-∞，2-2$\sqrt{2}$]，
故答案为：（-∞，2-2$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了函数恒成立的问题，关键是构造函数，利用函数的单调性质求出函数的最值，培养克学生的转化能力，运算能力，属于中档题．