Question

7．已知a_n=3ⁿ-2ⁿ，证明：$\frac{6}{5}$≤$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{7}{5}$（n≥2）

Answer 1

分析 一方面利用a_n＞0可知$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$≥$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{6}{5}$，另一方面利用当n≥3时3ⁿ-2ⁿ＞5•2^n-2及等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 证明：∵a_n=3ⁿ-2ⁿ，
∴当n≥3时，3ⁿ-2ⁿ＞5•2^n-2，
∵a_n＞0，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$≥$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{3-2}$+$\frac{1}{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\frac{6}{5}$，
$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$≤$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{5}$（$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$）
=$\frac{6}{5}$+$\frac{1}{5}$•$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-2}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{6}{5}$+$\frac{1}{5}$•（1+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$）
＜$\frac{6}{5}$+$\frac{1}{5}$
=$\frac{7}{5}$，
综上所述，$\frac{6}{5}$≤$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{7}{5}$（n≥2）．

点评 本题考查不等式的证明，利用放缩法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于基础题．