Question

18．如图甲，正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，BC的中点，AC交EF于点M．如图乙，沿EF将矩形EFCD折起至EFC′D′的位置，使二面角A-EF-C为120°，求二面角C′-AM-B的平面角的正切值．

Answer 1

分析 以M为原点，过M作AB的垂线为x轴，ME为y轴，过M作平面ABFE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C′-AM-B的平面角的正切值．

解答 解：以M为原点，过M作AB的垂线为x轴，ME为y轴，过M作平面ABFE的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
由已知得A（1，1，0），B（1，-1，0），M（0，0，0），C′（-$\frac{1}{2}，-1，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
$\overrightarrow{M{C}^{'}}$=（-$\frac{1}{2}，-1，\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{MA}$=（1，1，0），$\overrightarrow{MB}$=（1，-1，0），
设平面AMC′的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{M{C}^{'}}=-\frac{1}{2}x-y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MA}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
又平面ABM的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角C′-AM-B的平面角为α，
cosα=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$|=|$\frac{-\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{1+1+\frac{1}{3}}}$|=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴tanα=$\sqrt{6}$．
∴二面角C′-AM-B的平面角的正切值为$\sqrt{6}$．

点评 本题考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．