Question

19．已知函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$，g（x）=alnx，h（x）=f（x）-g（x）．
（1）若h（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）当a取（1）中最大值时，求函数h（x）+h（2-x）=0在（0，1）上的根的个数．

Answer 1

分析 （1）求导，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，可知x²-ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≤x+$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上恒成立，故只需求x+$\frac{1}{x}$的最小值．
（2）整理方程得：2-$\frac{2}{x（2-x）}$-2lnx（2-x）=0，构造函数φ（t）=2-$\frac{2}{t}$-2lnt，利用导数研究函数φ（t）的取值范围．

解答 （1）h（x）=f（x）-g（x）=x-$\frac{1}{x}$-alnx（x＞0），
∴h'（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+1}{{x}^{2}}$
∵函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴x²-ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≤x+$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上恒成立，
解得a≤2；
（2）当a=2时，h（x）=x-$\frac{1}{x}$-2lnx，
∴h（x）+h（2-x）=2-$\frac{2}{x（2-x）}$-2lnx（2-x）．
令t=x（2-x），t∈（0，1），
构造函数φ（t）=2-$\frac{2}{t}$-2lnt，
∴φ'（t）=$\frac{2-2t}{{t}^{2}}$＞0恒成立，
∴函数φ（t）在（0，1）上单调递增，且φ（1）=0，
∴φ（t）=2-$\frac{2}{t}$-2lnt在（0，1）上无解．
故函数h（x）+h（2-x）=0在（0，1）上的根的个数为零．

点评 考察了利用导数研究函数的单调性；构造函数，利用导数研究函数的极值．