Question

9．己知函数f（x）=e^x-x-1
（Ⅰ）求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程：
（Ⅱ）若方程f（x）=a，在[-2，ln 2]上有唯一零点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）对任意x≥0，f（x）≥（t-1）x恒成立，求实数t的取值范闱．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，确定切线的斜率，即可求出函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）函数f（x）=a，在[-2，ln2]上有唯一零点，等价于，f（ln2）＜a≤f（-2）或a=f（0），即可求实数a的取值范围；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-（t-1）x=e^x-1-tx，则g′（x）=e^x-t，分类讨论，确定函数的单调性，即可求实数t的取值范闱．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-x-1，
∴f′（x）=e^x-1．…（1分）
∴f′（1）=e-1，f（1）=e-2，
∴求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y-（e-2）=（e-1）（x-1）．
化简得所求切线的方程为y=（e-1）x-1．…（3分）
（Ⅱ）f′（x）=e^x-1，
当x∈（-2，0）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减；
当x∈（0，ln2）时，f′（x）≥0，f（x）单调递增．…（5分）
$f（-2）=\frac{1}{e^2}+1$，f（ln2）=1-ln2．…（6分）
∵f（-2）＞f（ln2）．
函数f（x）=a，在[-2，ln2]上有唯一零点，等价于，f（ln2）＜a≤f（-2）或a=f（0），
即$1-ln2＜a≤1+\frac{1}{e^2}$或a=0．
∴实数a的取值范围是$1-ln2＜a≤1+\frac{1}{e^2}$或a=0．…（8分）
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-（t-1）x=e^x-1-tx，则g′（x）=e^x-t．
∵x≥0，∴e^x≥1．…（9分）
（ i）当t≤1时，g′（x）≥0，g（x）在区间[0，+∞）上是增函数，所以g（x）≥g（0）=0．
即f（x）≥（t-1）x恒成立．…（11分）
（ ii）当t＞1时，e^x-t=0，x=lnt，
当x∈（0，lnt）时，g′（x）≤0，g（x）单调递减，
当x∈（0，lnt）时，g（x）＜g（0）=0，此时不满足题设条件．…（12分）
综上所述：实数t的取值范围是t≤1．…（13分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的零点，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．