Question

15．如图所示，在四棱锥A-BCDE中，AE⊥面EBCD且四边形EBCD是菱形，∠BED=120°，AE=BE=2，F是BC上的动点．
（1）当F是BC的中点时，求证：平面AEF⊥平面ABC；
（2）当点F在由B向C移动的过程中能否存在一个位置使得二面角A-FD-E的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$，若存在，求出BF的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由线面垂直得BC⊥AE，由菱形性质得EF⊥BC，由此能证明平面AEF⊥平面ABC．
（2）解：以E为原点，以过平面BCDE中点E作ED的垂线为x轴，以ED为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能过河卒子 同当BF=0时，使得二面角A-FD-E的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$．

解答 （1）证明：∵在四棱锥A-BCDE中，AE⊥面EBCD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥AE，
∵四边形EBCD是菱形，∠BED=120°，F是BC的中点，
∴EF⊥BC，
∵AE∩EF=E，∴BC⊥平面AEF，
∵BC?平面ABC，∴平面AEF⊥平面ABC．
（2）解：以E为原点，以过平面BCDE中点E作ED的垂线为x轴，以ED为y轴，EA为z轴，
建立空间直角坐标系，
设BF=t（0≤t≤2），由已知得：
A（0，0，2），F（$\sqrt{3}$，t，0），D（0，2，0），E（0，0，0），
$\overrightarrow{AF}$=（$\sqrt{3}，t$，-2），$\overrightarrow{AD}$=（0，2，-2），
设平面ADF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=\sqrt{3}x+ty-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=2y-2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{2-t}{\sqrt{3}}$，1，1），
平面FDE的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵二面角A-FD-E的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$|=$\frac{1}{\sqrt{（\frac{2-t}{\sqrt{3}}）^{2}+2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$，
解得t=0或t=4（舍），
∴当F与B重合时，即BF=0时，使得二面角A-FD-E的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查使得二面角A-FD-E的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$的点的位置的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．