Question

为庆祝五一，某旅游景点推出“挑战自我”节目，挑战者闯关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个题目，回答正确得20分，回答不正确得一10分，总得分不少于30分即可过关．如果一位挑战者回答前两题正确的概率都是

4

5

，回答第三题正确的概率为

3

5

，且各题回答正确与否相互之间没有影响．记这位挑战者回答这三个问题的总得分为ξ．
（1）这位挑战者过关的概率有多大？
（2）求ξ的概率分布和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）这位挑战者有两种情况能过关：①第三个答对，前两个一对一错，得20+10+0=30分，②三个题目均答对，得10+10+20=40分，由此能求出这位挑战者过关的概率．
（2）由已知得ξ的可能取值为：-10，0，10，20，30，40，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的概率分布和数学期望．

解答： （本题满分12分）
解：（1）这位挑战者有两种情况能过关：
①第三个答对，前两个一对一错，得20+10+0=30分，
②三个题目均答对，得10+10+20=40分，…（1分）
其概率分别为P（ξ=30）=

C

1 2

×

4

5

×

1

5

×

3

5

=

24

125

，…（2分）
P（ξ=40）=

4

5

×

4

5

×

3

5

=

48

125

，
这位挑战者过关的概率为：
P（ξ≥30）=P（ξ=30）+P（ξ=40）=

24

125

+

48

125

=

72

125

．
（2）如果三个题目均答错，得0+0+（-10）=-10分，
如果前两个中一对一错，第二个错，得10+0+（-10）=0分；
前两个错，第三个对，得0+0+20=20分；
如果前两个对，第三个错，得10+10+（-10）=10分，…（5分）
故ξ的可能取值为：-10，0，10，20，30，40…（6分）
P（ξ=-10）=(1-

4

5

)(1-

4

5

)(1-

3

5

)=

2

125

，
P（ξ=0）=

C

1 2

×

1

5

×

4

5

×

2

5

=

16

125

，
P（ξ=10）=

4

5

×

4

5

×

2

5

=

32

125

，
P（ξ=20）=

1

5

×

1

5

×

3

5

=

3

125

，
P（ξ=30）=

C

1 2

×

4

5

×

1

5

×

3

5

=

24

125

，
P（ξ=40）=

4

5

×

4

5

×

3

5

=

48

125

，
∴P（ξ=30）=

C

1 2

×

4

5

×

1

5

×

3

5

=

24

125

，…（2分）
P（ξ=40）=

4

5

×

4

5

×

3

5

=

48

125

，
∴ξ的分布列为：

ξ	-10	0	10	20	30	40
P	2 125	16 125	32 125	3 125	24 125	48 125

Eξ=-10×

2

125

+0×

16

125

+10×

32

125

+20×

3

125

+30×

24

125

+40×

48

125

=24．

点评：本题主要考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，考查数据处理能力．