Question

已知向量 

a

=（sinx，

3

cosx），

b

=（cosx，cosx），若函数f（x）=

a

•

b

（Ⅰ） 若

a

⊥

b

，求x的值；
（Ⅱ） 求函数f（x）的递增区间．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：（I）由

a

⊥

b

，可得

a

•

b

=sin(2x+

π

3

)+

3

2

=0．再利用正弦函数的单调性与周期性即可得出．
（II）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，解得 kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z．即可得出．

解答： 解：（I）∵

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=sinxcosx+

3

cos2x=

1

2

sin2x+

3 (1+cos2x)

2

=sin(2x+

π

3

)+

3

2

=0．
∴sin(2x+

π

3

)=-

3

2

，
∴2x+

π

3

=kπ-(-1)k•

π

3

，解得x=

kπ

2

+(-1)k+1•

π

3

-

π

6

，k∈Z．
∴x∈{x|x=

kπ

2

+(-1)k+1•

π

3

-

π

6

，k∈Z}．
（II）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，解得 kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z．
∴函数f（x）的递增区间是[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z．

点评：本题考查了数量积运算、两角和差的正弦公式、倍角公式、正弦函数的单调性与周期性，考查了计算能力，属于中档题．