Question

已知函数f（x）=

a

3

x3-

3

2

x2+（a+1）x+1，其中a为实数；
（1）当a=1时，试讨论函数g（x）=f（x）-m的零点的个数；
（2）已知不等式f'（x）＞x²-x-a+1对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（1）利用导数求出函数的极值，再判断m数极值的关系得打函数的零点的个数；
（2）由题意得到a（x²+2）-x²-2x＞0，对任意a∈（0，+∞）都成立，构造函数g（a）=a（x²+2）-x²-2x（a∈R），得到不等式，解得即可．

解答： （1）当a=1时，f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x+1，f'（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2）
由f'（x）=0得  x=1，x=2

x范围	（-∞，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	取极大值	递减	取极小值	递增

由上表知：f（x）_极大值=f（1）=

11

6

，f（x）_极小值=f（2）=

5

3

，
故当m＞

11

6

或m＜

5

3

时，函数g（x）有1个零点；
当m=

11

6

或m=

5

3

时，函数g（x）有2个零点；
当

5

3

＜m＜

11

6

时，函数g（x）有3个零点；
（2）由题设知：f′（x）=ax²-3x+（a+1），
∵不等式f'（x）＞x²-x-a+1对任意a∈（0，+∞）都成立，
∴ax²-3x+（a+1）＞x²-x-a+1
即a（x²+2）-x²-2x＞0，
∴g（a）=a（x²+2）-x²-2x（a∈R），g（a）为单调增函数
所以，对任意的a∈（0，+∞），g（a）＞0恒成立的充分必要条件是g（0）≥0，
即-x²-2x≥0，
∴-2≤x≤0，
故x的取值范围是[-2，0]

点评：本题主要考查了导数和函数的极值的关系，以及零点的个数问题，以及不等式的解法，构造函数是关键，属于中档题．