Question

等差数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，数列{

1

anan+1

}的前n项和为

15

31

，则n的值为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：利用等差数列的通项公式可得a_n=2n-1，再利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=1，a₂=3，∴d=a₂-a₁=3-1=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴数列{

1

anan+1

}的前n项和=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
令

n

2n+1

=

15

31

，解得n=15．
故答案为：15．

点评：本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．