Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（2，1），B（-1，1），若点P满足，其中α，β∈R且2α²+β²=．
1）求点P的轨迹C的方程.2）设D（0，2），过D的直线L与曲线C交于不同的两点M、N，且M点在D，N之间，设，求λ的取值范围．

Answer 1

解：1）设P（x，y），由条件，得，代入2α²+β²=．
可得，此即为点P的轨迹C的方程
2）当直线l斜率存在时，设l：y=kx+2，代入椭圆方程得：
（1+2k²）x²+8kx+6=0
因为直线L与曲线C交于不同的两点M、N，
所以△＞0，解得
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由维达定理可得x₁+x₂=，x₁x₂=
由可得x₁=λx₂代入上式可得

因为，所以，解得且λ≠1
当直线l斜率不存在时，
又因为M点在D，N之间，所以0＜λ＜1
所以λ的取值范围是
分析：1）设P（x，y），由条件，x、y可由α和β表达，反解出α和β代入2α²+β²=．可得x和y的关系式，此即为点P的轨迹C的方程
2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由可得x₁=λx₂，
设出直线l的方程，与椭圆联立、消元、维达定理，
点评：本题考查相关点法求轨迹方程、直线与椭圆的位置关系问题、求参数的范围问题．考查运算能力和逻辑推理能力．
注意向量在题目条件中的作用，提供点的坐标的关系．