Question

6．锐角△ABC中，其内角A、B满足：2cosA=sinB-$\sqrt{3}$cosB．
（1）求角C的大小；
（2）D为AB的中点，CD=1，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用特殊角的三角函数值，两角差的正弦函数公式可得cosA=cos（$\frac{5π}{6}$-B），结合A，B为锐角，利用三角形内角和定理可求C的值．
（2）设∠ACD=α，延长CD到E，使CD=DE，则AEBC为平行四边形，在△ACE中，由正弦定理可得a=4sinα，b=4sin（$\frac{π}{6}$-α），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用化简可得S_△ABC=2sin（2α+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$，利用正弦函数的性质可求△ABC面积的最大值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵2cosA+$\sqrt{3}$cosB=sinB，可得：cosA=$\frac{1}{2}$sinB-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=cos（$\frac{5π}{6}$-B），…2分
又∵A，B为锐角，
∴0$＜A＜\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{6}$-B＜$\frac{5π}{6}$，
∴A=$\frac{5π}{6}$-B，A+B=$\frac{5π}{6}$，可得：C=π-$\frac{5π}{6}$=$\frac{π}{6}$．…5分
（2）设∠ACD=α，延长CD到E，使CD=DE，
则AEBC为平行四边形，
在△ACE中，AC=b，AE=BC=α，CE=2，∠CAE=$\frac{5π}{6}$，∠AEC=$\frac{π}{6}$-α，
由正弦定理可得：$\frac{b}{sin（\frac{π}{6}-α）}$=$\frac{a}{sinα}$=$\frac{2}{sin\frac{5π}{6}}$，
所以，a=4sinα，b=4sin（$\frac{π}{6}$-α），…7分
S_△ABC=$\frac{1}{2}$absin∠ABC=$\frac{1}{2}×4sinα×4sin（\frac{π}{6}-α）$sin$\frac{π}{6}$
=4sinα•sin（$\frac{π}{6}$-α）=2sinαcosα-2$\sqrt{3}$sin²α
=sin2α+$\sqrt{3}$cos2α-$\sqrt{3}$=2sin（2α+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$，…11分
当α=$\frac{π}{12}$时，△ABC的面积取得最大值，最大值为2-$\sqrt{3}$．…12分

点评 本题主要考查了特殊角的三角函数值，两角差的正弦函数公式，三角形内角和定理，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，综合性较强，属于中档题．