Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2sinx，2sinx），$\overrightarrow{b}$=（2cosx，2sinx），x∈R．设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$，求：
（1）f（$\frac{2π}{3}$）的值；
（2）f（x）的最小正周期；
（3）f（x）的最大值及其取得最大值时x的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量数量积运算性质、和差公式倍角公式可得：函数f（x）=2$\sqrt{2}$$sin（2x-\frac{π}{4}）$+2，即可得出f（$\frac{2π}{3}$）．
（2）由（1）可得：$T=\frac{2π}{2}$．
（3）由$2x-\frac{π}{4}$=$2kπ+\frac{π}{2}$，解得x，$sin（2x-\frac{π}{4}）$取得最大值1，即可得出f（x）取得最大值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=2sin2x+4sin²x=2sin2x+2（1-cos2x）=2$\sqrt{2}$$sin（2x-\frac{π}{4}）$+2，
∴f（$\frac{2π}{3}$）=$2\sqrt{2}sin（\frac{4π}{3}-\frac{π}{4}）$+2=3-$\sqrt{3}$．
（2）由（1）可得：$T=\frac{2π}{2}$=π．
∴f（x）的最小正周期为π；
（3）由$2x-\frac{π}{4}$=$2kπ+\frac{π}{2}$，解得x=$kπ+\frac{3π}{8}$，（k∈Z），
∴当x=$kπ+\frac{3π}{8}$（k∈Z）时，$sin（2x-\frac{π}{4}）$取得最大值1，f（x）取得最大值2$\sqrt{2}$+2．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、和差公式倍角公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．