Question

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，下列向量的数量积一定不为0的是（　　）

• A、

  AD1

  •

  B1C

• B、

  BD1

  •

  AC

• C、

  AB

  •

  AD1

• D、

  BD1

  •

  BC

Answer 1

分析：选项A，当四边形ADD₁A₁为正方形时，可证AD₁∥B₁C，选项B，当四边形ABCD为正方形时，可证AC⊥BD₁，选项C，由长方体的性质可证AB⊥AD₁，分别可得数量积为0，选项D，可推在△BCD₁中，∠BCD₁为直角，可判BC与BD₁不可能垂直，可得结论．

解答：解：选项A，当四边形ADD₁A₁为正方形时，可得AD₁⊥A₁D，而A₁D∥B₁C，可得AD₁∥B₁C，此时有

AD1

•

B1C

=0；
选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，可得AC⊥平面BB₁D₁D，故有AC⊥BD₁，此时有

BD1

•

AC

=0；
选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD₁A₁，可得AB⊥AD₁，此时必有

AB

•

AD1

=0；
选项D，由长方体的性质可得BC⊥平面CDD₁C₁，可得BC⊥CD₁，△BCD₁为直角三角形，∠BCD₁为直角，
故BC与BD₁不可能垂直，即

BD1

•

BC

≠0．
故选：D

点评：本题考查空间向量的数量积，转化为直线与直线的垂直是解决问题的关键，属中档题．