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已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是BB1和BC的中点,AB=4,AD=2,BB1=2
15
,求异面直线B1D与MN所成角的余弦值.
分析:连结B1C,利用三角形中位线的性质得到MN∥B1C,然后通过解直角三角形求出三角形DB1C的三边,最后利用余弦定理求异面直线B1D与MN所成角的余弦值.
解答:解:如图:
连结B1C,因为M,N分别为BB1和BC的中点,所以MN∥B1C,
则∠DB1C为异面直线B1D与MN所成角.
在直角三角形B1C1C中,B1C=
B1C12+CC12
=
22+(2
15
)2
=8

连结BD,则BD=
42+22
=2
5
,在直角三角形B1BD中,B1D=
BD2+BB12
=
(2
5
)2+(2
15
)2
=4
5

在三角形DB1C中,cos∠DB1C=
B1D2+B1C2-DC2
2B1D•B1C
=
(4
5
)2+82-42
2×4
5
×8
=
2
5
5

所以异面直线B1D与MN所成角的余弦值为
2
5
5
点评:本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力.在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧,这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线,如果试题的已知中涉及到多个中点,则找中点是出现平行线的关键技巧.
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2
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AE
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A、
AD1
B1C
B、
BD1
AC
C、
AB
AD1
D、
BD1
BC

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