Question

设数列{a_n}的前项n和为S_n，且S_n=2a_n-2，令b_n=log₂a_n
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设C_n=a_nb_n，求数列C_n的前n项和T_n．
（3）求使满足

Tn-2

Tn+1-2

＞

1000

2009

的最小正整数n是多少？

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a₁=2a₁-2，解得a₁=2，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，由此求出an=2n．
（2）b_n=log₂a_n=log22n=n，从而得到C_n=a_nb_n=n•2ⁿ，由此利用裂项求和法能求出数列C_n的前n项和T_n．
（3）

Tn-2

Tn+1-2

=

(n-1)•2n+1

n•2n+2

=

n-1

2n

＞

1000

2009

，由此能求出最小正整数n是223．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前项n和为S_n，且S_n=2a_n-2，
∴a₁=2a₁-2，解得a₁=2，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
整理，得a_n=2a_n-1，

an

an-1

=2，
∴an=2n．
（2）b_n=log₂a_n=log22n=n，
∴C_n=a_nb_n=n•2ⁿ，
∴Tn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，①
2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴Tn=(n-1)•2n+1+2．
（3）

Tn-2

Tn+1-2

=

(n-1)•2n+1

n•2n+2

=

n-1

2n

＞

1000

2009

，
整理，得：2009（n-1）＞2000n，
解得n＞

2009

9

，
∴最小正整数n是223．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查实数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．