Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（x∈R），满足f（0）=f（

1

2

）=0，且f（x）的最小值是-

1

8

．设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，点（n，S_n）在函数f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）通过b_n=

Sn

n+k

构造一个新数列{b_n}，是否存在非零常数k，使得数列{b_n}为等差数列．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,等差数列的性质

专题：计算题,存在型,等差数列与等比数列

分析：（1）由于足f（0）=f（

1

2

）=0，及f（x）的最小值是-

1

8

，利用二次函数图象的顶点坐标列方程，即可解得a，b，可得f（x），由于点（n，S_n）在函数f（x）的图象上，可得S_n关于n的二次函数．当n=1时，a₁=S₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得到a_n．
（2）由于b_n=

Sn

n+k

=

2n2-n

n+k

，只要取得的k的值使得b_n为关于n的一次函数即可．

解答： 解：（1）∵f（0）=f（

1

2

）=0，
∴c=0，且

1

4

a+

1

2

b=0，
∴a=-2b，
∴f（x）=-2bx²+bx，
∵f（x）_min=-

1

8

即-2b×

1

16

+

1

4

b=-

1

8

，∴b=-1，
∴f（x）=2x²-x，
∵点（n，S_n）在函数f（x）的图象上，
∴S_n=2n²-n
则S_n-1=2（n-1）²-（n-1）（n≥2）
=2n²-5n+3，
∴a_n=S_n-S_n-1=4n-3（n≥2）
又S₁=1=4-3，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=4n-3；
（2）∵b_n=

Sn

n+k

=

2n2-n

n+k

=

2n(n- 1 2 )

n+k

，
令k=-

1

2

，即得b_n=2n，此时数列{b_n}为等差数列，
∴存在非零常数k=-

1

2

，使得{b_n}为等差数列．

点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、数列的通项公式a_n与S_n之间的关系、等差数列的定义与通项公式及前n项和公式，是一道中档题．