Question

关于x的方程x²-（a+b）x+a-b+5=0的两根x₁，x₂满足0＜x₁＜1＜x₂＜2，则

b

a+3

的取值范围是（　　）

• A．（0，3）
• B．（1，3）
• C．(1，

  7

  3

  )
• D．(

  7

  3

  ，3)

Answer 1

分析：构建函数f（x）=x²-（a+b）x+a-b+5，方程x²-（a+b）x+a-b+5=0的两根x₁，x₂满足0＜x₁＜1＜x₂＜2，确定满足条件的可行域，再利用数形结合即可得到结论．

解答：解：由方x²-（a+b）x+a-b+5=0的二次项系数为1＞0，故函数f（x）=x²-（a+b）x+a-b+5图象开口方向朝上．
又∵方程x²-（a+b）x+a-b+5=0的两根x₁，x₂满足0＜x₁＜1＜x₂＜2，
∴

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，∴

a-b+5＞0 b＞3 a+3b-9＜0

其对应的平面区域如图阴影示：

∵

b

a+3

=

b-0

a-(-3)

表示阴影区域上一点与（-3，0）连线的斜率
由

b=3 a-b+5=0

可知

b=3 a=-2

，此时斜率为

3-0

-2+3

=3；
由

b=3 a+3b-9=0

，可得

b=3 a=0

，此时斜率为

3-0

0+3

=1
∴

b

a+3

的取值范围是（1，3）
故选B．

点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题