Question

在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且 cos2A+4cos²

B+C

2

=

1

2

．
（1）求∠A；
（2）若a=5，△ABC的面积为2

3

，求b+c的值．

Answer 1

考点：余弦定理,二倍角的余弦

专题：解三角形

分析：（1）利用诱导公式把原式转化成关于cosA的一元二次方程求得cosA的值，进而求得A．
（2）利用三角形的面积求得bc的值，进而运用余弦定理求得b²+c²的值，进而配方法求得b+c的值．

解答： 解：（1）∵cos2A+4cos2

B+C

2

=

1

2

，
∴cos2A+4sin2

A

2

=

1

2

，
∴2cos2A-1+2(1-cosA)=

1

2

，即（2cosA-1）²=0，
∴cosA=

1

2

，
∴A=

π

3

（ 2 ）∵S_△ABC=2

3

，
∴

1

2

bcsin

π

3

=2

3

，即bc=8
又 a2=b2+c2-2bccos

π

3

，
∴b²+c²=33，
∴（b+c）²=49，
∴b+c=7．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．考查了学生分析和推理的能力．