Question

函数f（x）=x³+ax²+bx的两个极值点分别为-1，3．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）先求出f（x）的导数，令导数f′（x）=0，求出极值点，在方程组求解a，b的值．
（Ⅱ）先求出f（x）导函数，f′（x）＞0，f′（x）＜0，列表判断单调区间，极大值，极小值，Ⅰ
再代入f（x）求大小即可

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=x³+ax²+bx，f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函数f（x）=x³+ax²+bx的两个极值点分别为-1，3，
∴-1，3是方程f′（x）=0的两个根，
由根与系数的关系得

-1+3=- 2a 3 -3= b 3

，解得

a=-3 b=-9

；
（Ⅱ）f（x）=x³-3x²-9x，f′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3），列表可得

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

f（-1）=5，f（3）=-27，
所以 f（x）=x³-3x²-9x在（-∞，-1），（3，+∞）为增函数，（-1，3）为减函数，
极大值为5，极小值为-27．

点评：本题考查了三次函数单调性的判断，及应用求解极大值，极小值，是导数应用的最基本的题型，注意步骤，和列表判断是极大值还是极小值