Question

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=

2

2

，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为

2

．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）A为椭圆左顶点，P，Q为椭圆上异于A的任意两点，若

AP

⊥

AQ

，求证：直线PQ过定点并求出定点坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）首先，设该椭圆的标准方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，然后，利用待定系数法，建立关系式，利用离心率和通径长建立方程组，求解a和b即可；
（2）首先，设直线PQ：x=my+n，然后，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），然后，联立方程组，消去y，结合

AP

⊥

AQ

，建立等式，求解定点即可．

解答： （1）设椭圆的标准方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
则e=

c

a

=

a2-b2

a

=

2

2

 ①
∵

2b2

a

=

2

  ②
联立①②，解得
a=

2

，b=1
∴椭圆的标准方程为

x2

2

+y2=1；
（2）设PQ：x=my+n，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
代入椭圆方程得（m²+2）y²+2mny+n²-2=0，
∴△≥0，y1+y2=

-2mn

m2+2

，y1y2=

n2-2

m2+2

，
又

AP

⊥

AQ

，
∴(x1+

2

)(x2+

2

)+y1y2=0⇒(my1+n+

2

)(my2+n+

2

)+y1y2=0，⇒(1+m2)y1y2+m(n+

2

)y1y2+(n+

2

)2=0，
(1+m2)

n2-2

m2+2

+m(n+

2

)

-2mn

m2+2

+(n+

2

)2=0，
化简得：3n2+4

2

n+2=0⇒n=-

2

3

或n=-

2

（舍去）
∴直线PQ：x=my-

2

3

，即过定点(-

2

3

，0)．

点评：本题重点考查了椭圆的标准方程的求解、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于综合性题目，本题需要注意直线方程的设法，直线过定点问题的处理思路和方法等，属于中档题．