Question

已知函数f（x）=acos²x-sinxcosx（x∈R）的图象经过点M（

π

8

，

1

2

），其中常数a∈R．
（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）当x∈[

π

8

，

3π

4

]时，求函数f（x）的最值及相应的x值．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,两角和与差的正弦函数,二倍角的正弦,三角函数的最值

专题：函数的性质及应用

分析：首先利用正弦和余弦的倍角公式化简三角函数为一个三角函数名称的形式然后求周期即最值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=a

cos2x+1

2

-

1

2

sin2x=

a

2

cos2x-

1

2

sin2x+

a

2

由函数f（x）的图象经过点M（

π

8

，

1

2

）知道f（

π

8

)=

1

2

=

1

2

，即

a

2

cos

π

4

-

1

2

sin

π

4

+

a

2

=

1

2

，解得a=1．
∴f（x）=

1

2

cos2x-

1

2

sin2x+

1

2

=

2

2

cos(2x+

π

4

)+

1

2

，
∴T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）当
x∈[

π

8

，

3π

4

]时，2x+

π

4

∈[

π

2

，

7π

4

]，
∴当2x+

π

4

=π，即x=

3π

8

时，f（x）_min=

1- 2

2

；
当2x+

π

4

=

7π

4

，即x=

3π

4

时，f（x）_max=1．

点评：本题考查了三角函数的化简以及区间的最值求法，需要熟练倍角公式以及弦函数的有界性求最值．