Question

数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=2b_n+1，若数列{a_n}满足a₁=1，（n≥2且n∈N^*）．
（1）求b₂，b₃及数列{b_n}的通项公式；
（2）试证明：（n≥2且n∈N^*）；
（3）求证：．

Answer 1

解：（1）∵b₁=1，b_n+1=2b_n+1，
∴b₂=2×1+1=3，
b₃=2×3+1=7，
∵b_n+1=2b_n+1，∴b_n+1+1=2（b_n+1），
∴=2•2^n-1=2ⁿ，
∴．
（2）∵a₁=1，（n≥2且n∈N^*），
∴，
，
∴，
∴=，
∴（n≥2且n∈N^*）．
（3）由（2）知
=
=
=•a_n+1
=
=2•
=2（），
而=1++…+，
当k≥2时，=2（），
∴
=1+2[（）+（）+…+（）
=1+2（）＜．
分析：（1）由b₁=1，b_n+1=2b_n+1，分别令n=1和n=2，先求出b₂和b₃，再由b_n+1=2b_n+1，利用构造法求出{b_n}的通项公式．
（2）由a₁=1，（n≥2且n∈N^*），变形得到，由此能够证明：（n≥2且n∈N^*）．
（3）由（1）知：=2（），再由=1++…+，利用放缩法能够证明．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．