Question

设等比数列{a_n}的前n项和S_n，首项a₁=1，公比q=f(λ)=

λ

1+λ

(λ≠-1，0)．
（Ⅰ）证明：S_n=（1+λ）-λa_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b1=

1

2

，b_n=f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）若λ=1，记cn=an(

1

bn

-1)，数列{c_n}的前项和为T_n，求证：当n≥2时，2≤T_n＜4．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求等比数列{a_n}的前n项和S_n，再表达出an=(

λ

1+λ

)n-1，故可证；
（II）先求出b_n，再进一步变形，判断出 {

1

bn

}是等差数列，根据等差数列的通项公式求出{b_n}的通项公式；
（III）先求出C_n，再由错位相减法求出该数列的前n项和为T_n．

解答：解：（Ⅰ）证明：Sn=

a1(1-qn)

1-q

=

a1[1-( λ 1+λ )n]

1- λ 1+λ

=(1+λ)[1-(

λ

1+λ

)n]=(1+λ)-λ(

λ

1+λ

)n-1
而an=a1(

λ

1+λ

)n-1=(

λ

1+λ

)n-1所以S_n=（1+λ）-λa_n（4分）
（Ⅱ）f(λ)=

λ

1+λ

，∴bn=

bn-1

1+bn-1

，∴

1

bn

=

1

bn-1

+1，（6分）

∴{

1

bn

}是首项为

1

b1

=2，公差为1的等差数列，

1

bn

=2+(n-1)=n+1，即bn=

1

n+1

．（8分）

（Ⅲ）λ=1时，an=(

1

2

)n-1，∴cn=an(

1

bn

-1)=n(

1

2

)n-1（9分）
∴Tn=1+2(

1

2

)+3(

1

2

)2++n(

1

2

)n-1∴

1

2

Tn=

1

2

+2(

1

2

)2+3(

1

2

)3++n(

1

2

)n
相减得∴

1

2

Tn=1+(

1

2

)+(

1

2

)2++(

1

2

)n-1-n(

1

2

)n=2[1-(

1

2

)n]-n(

1

2

)n
∴Tn=4-(

1

2

)n-2-n(

1

2

)n-1＜4，（12分）
又因为cn=n(

1

2

)n-1＞0，∴T_n单调递增，
∴T_n≥T₂=2，故当n≥2时，2≤T_n＜4．（13分）

点评：本题是数列的综合题，考查等差数列、等比数列的通项公式，涉及了错位相减法求数列的前n项和，考查了分析问题和解决问题的能力．