Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n，数列{b_n}满足b₁=5，b_n+1=2b_n-1（n∈N^*），cn=

1

an•log2(bn-1)

，设数列{c_n}的前n项和为T_n，则T_n与

1

2

的大小关系为

 

．

Answer 1

分析：先由a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求出数列数列{a_n}的通项公式；再由b_n+1=2b_n-1?b_n+1-1=2（b_n-1）进而求出数列{b_n}的通项公式；代入即可求出数列{c_n}的通项以及前n项和T_n的表达式，即可求得结论．

解答：解：由题设知：an=

Sn=2                  (n=1) Sn-Sn-1=2n        (n≥1)

，即a_n=2n；
又由b_n+1-1=2（b_n-1）得{b_n-1}是以5-1=4为首项，2为公比的等比数列，
所以b_n-1=2ⁿ⁺¹，
所以cn=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，
故T_n=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=

1

2

（1-

1

n+1

）＜

1

2

．
故答案为：Tn＜

1

2

点评：本题主要考查已知前n项和为S_n求数列{a_n}的通项公式以及已知递推关系求通项．已知前n项和为S_n求数列{a_n}的通项公式，根据a_n和S_n的关系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解数列的通项公式．另外，须注意公式成立的前提是n≥2，所以要验证n=1时通项是否成立，若成立则：a_n=S_n-S_n-1 （n≥1）；若不成立，则通项公式为分段函数．