【题目】已知函数且
.
(1)求a;
(2)证明:存在唯一的极大值点
,且
.
【答案】(1)a=1;(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)根据题意结合导函数与原函数的关系可求得,注意验证结果的正确性;(2)结合(1)的结论构造函数
,结合
的单调性和
的解析式即可证得题中的不等式成立.
试题解析:(1)的定义域为
设,则
等价于
因为
若a=1,则.当0<x<1时,
单调递减;当x>1时,
>0,
单调递增.所以x=1是
的极小值点,故
综上,a=1
(2)由(1)知
设
当时,
;当
时,
,所以
在
单调递减,在
单调递增
又,所以
在
有唯一零点x0,在
有唯一零点1,且当
时,
;当
时,
,当
时,
.
因为,所以x=x0是f(x)的唯一极大值点
由
由得
因为x=x0是f(x)在(0,1)的最大值点,由得
所以
点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出.导数专题在高考中的命题方向及命题角度:从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性求参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题;(4)考查数形结合思想的应用.
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【题目】下列说法中正确的是( )
A. “”是“
”成立的充分不必要条件
B. 命题,则
C. 为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见,用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本,则分组的组距为40
D. 已知回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为,则回归直线方程为
.
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【题目】某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼,规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米.已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元,从第二层开始,每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元.
(1)若该写字楼共x层,总开发费用为y万元,求函数y=f(x)的表达式;(总开发费用=总建筑费用+购地费用)
(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低,该写字楼应建为多少层?
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【题目】设函数.
(1)若在其定义域内为单调递增函数,求实数
的取值范围;
(2)设,且
,若在
上至少存在一点
,使得
成立,求实数
的取值范围;
(3)求证:对任意的正整数,都有
成立.
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【题目】(本小题满分12分)
在如图所示的多面体中,四边形和
都为矩形。
(Ⅰ)若,证明:直线
平面
;
(Ⅱ)设,
分别是线段
,
的中点,在线段
上是否存在一点
,使直线
平面
?请证明你的结论。
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【题目】已知椭圆的左右焦点分别为
,离心率为
,
是椭圆
上的一个动点,且
面积的最大值为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线斜率为
,且
与椭圆
的另一个交点为
,是否存在点
,使得
若存在,求
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在三棱锥中,
与
都为等边三角形,且侧面
与底面
互相垂直,
为
的中点,点
在线段
上,且
,
为棱
上一点.
(1)试确定点的位置,使得
平面
;
(2)在(1)的条件下,求二面角的余弦值.
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【题目】某校有、
、
、
四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖,在结果揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下.
甲说:“、
同时获奖.”
乙说:“、
不可能同时获奖.”
丙说:“获奖.”
丁说:“、
至少一件获奖”
如果以上四位同学中有且只有两位同学的预测是正确的,则获奖的作品是( )
A. 作品与作品
B. 作品
与作品
C. 作品
与作品
D. 作品
与作品
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