Question

【题目】如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，且侧面与底面互相垂直，为的中点，点在线段上，且，为棱上一点.

（1）试确定点的位置，使得平面；

（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

(1)根据题意，延长交于点，要使得平面；即，然后确定出点E的位置即可；

(2)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后根据二面角的夹角公式求得余弦值即可.

（1）在中，延长交于点，

,是等边三角形

为的重心

平面, 平面，

,即点为线段上靠近点的三等分点

（2）等边中，，，，交线为，

如图以为原点建立空间直角坐标系

点在平面上，所以二面角与二面角为相同二面角.

设,则，

设平面的法向量 ，则

即，取，则

又平面，,

则 ,

又二面角为钝二面角，所以余弦值为 .