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已知函数f(x)=ex-ax(e为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)如果对任意x∈[2,+∞),不等式f(x)>x+x2恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)设n∈N*,求证:(
1
n
n+(
2
n
n+(
3
n
n+…+(
n
n
n
e
e-1
(Ⅰ)∵f′(x)=ex-a,
当a≤0时,f′(x)>0,得函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
当a>0时,若x∈(lna,+∞),f′(x)>0,得函数f(x)在(lna,+∞)上是增函数;
若x∈(-∞,lna),f′(x)<0,得函数f(x)在(-∞,lna)上是减函数.
综上所述,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,+∞);当a>0时,函数f(x)的单调递增区间是(lna,+∞),单调递减区间是(-∞,lna).
(Ⅱ)由题意知:不等式ex-ax>x+x2对任意x∈[2,+∞)成立,即不等式a<
ex-x2-x
x
对任意x∈[2,+∞)成立.
设g(x)=
ex-x2-x
x
(x≥2),则g′(x)=
(x-1)ex-x2
x2

再设h(x)=(x-1)ex-x2,得h′(x)=x(ex-2).
由x≥2,得h′(x)>0,即h(x)在[2,+∞)上单调递增,
∴h(x)≥h(2)=e2-4>0,进而g′(x)=
h(x)
x2
>0,
∴g(x)在[2,+∞)上单调递增,∴g(x)min=g(2)=
e2
2
-3,
∴a<
e2
2
-3,即实数a的取值范围是(-∞,
e2
2
-3).
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,当a=1时,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
∴f(x)≥f(0)=1,即ex-x≥1,整理得1+x≤ex
令x=-
i
n
(n∈N*,i=0,1,2,…,n-1),则0<1-
i
n
e-
i
n
,即(1-
i
n
)n
≤e-i
(
n
n
)n
≤e0(
n-1
n
)n
≤e-1(
n-2
n
)n
≤e-2,…,(
1
n
)n
≤e-(n-1)
(
n
n
)n
+(
n-1
n
)n
+(
n-2
n
)n
+(
n-3
n
)n
+…+(
1
n
)n
≤e0+e-1+e-2+e-3+…+e-(n-1)=
1-e-n
1-e-1
=
e(1-e-n)
e-1
e
e-1

故不等式:(
1
n
n+(
2
n
n+(
3
n
n+…+(
n
n
n
e
e-1
(n∈N*)成立.
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A.(
ln3
3
1
e
)
B.(
ln3
9
1
3e
)
C.(
ln3
9
1
2e
)
D.(
ln3
9
ln3
3
)

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A.
e(1-e2012π)
e-1
B.
eπ(1-e2012π)
1-e
C.
eπ(1-e1006π)
1-e
D.
eπ(1-e1006π)
1-eπ

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1
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1
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a
x
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1
2
+
1
3
+…+
1
n
,h(n)=
1
23
+
2
32
+
3
43
+…+
n-1
n3
(n≥2,n∈N+).是否存在实常数b,既使g(n)-f(n)>b又使h(n)-f(n+1)<b对一切n≥2,n∈N+恒成立?若存在,试找出b的一个值,并证明;若不存在,说明理由.

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