Question

已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，sin（2C-

π

2

）=

1

2

，且a²+b²＜c²．
（1）求角C的大小；
（2）求

a+b

c

．

Answer 1

分析：（1）由余弦定理表示出cosC，根据已知不等式得到cosC的值小于0，C为钝角，求出2C-

π

2

的范围，再由sin（2C-

π

2

）的值，利用特殊角的三角函数值很即可求出C的度数；
（2）由cosC的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形，求出

a+b

c

的范围，再根据三边之和大于第三边，即可求出

a+b

c

的具体范围．

解答：解：（1）∵a²+b²＜c²，
∴由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

＜0，
∴C为钝角，
∴

π

2

＜2C-

π

2

＜

3π

2

，
∵sin（2C-

π

2

）=

1

2

，
∴2C-

π

2

=

5π

6

，
则C=

2π

3

；
（2）由（1）得C=

2π

3

，
根据余弦定理得：c²=a²+b²-2abcos

2π

3

=a²+b²+ab=（a+b）²-ab≥（a+b）²-（

a+b

2

）²=

3

4

（a+b）²，
即（

a+b

c

）²≤

4

3

，

a+b

c

≤

2 3

3

，
又a+b＞c，即

a+b

c

＞1，
则

a+b

c

的范围为（1，

2 3

3

]．

点评：此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，以及完全平方公式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．