Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=AC，F为BB₁上一点，D为BC的中点，且BF=2BD．
（1）当

BF

FB1

为何值时，对于AD上任意一点总有EF⊥FC₁；
（2）若A₁B₁=3，C₁F与平面AA₁B₁B所成角的正弦值为

4 10

15

，当

BF

FB1

在（1）所给的值时，求三棱柱的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出C₁F⊥DF，Rt△BDF≌Rt△B₁FC₁，由此推导出

BF

B1F

=2．
（2）在平面A₁B₁C₁中，过C₁作C₁G⊥A₁B₁于G，连FG，则∠C₁FG就是C₁F与侧面AA₁B₁B所成的角，由此能求出三棱柱的体积．

解答： （1）∵对于AD上任意一点总有EF⊥FC₁，
∴C₁F⊥平面ADF，
∴C₁F⊥DF，
∵D为BC的中点，且BF=2BD，
∴BF=B₁C₁，∠B₁FC₁=∠BDF，∠FB₁C₁=∠DBF，
∴Rt△BDF≌Rt△B₁FC₁，
∴B₁F=BD=

1

2

BF，∴

BF

B1F

=2．（6分）
（2）在平面A₁B₁C₁中，过C₁作C₁G⊥A₁B₁于G，连FG，
则∠C₁FG就是C₁F与侧面AA₁B₁B所成的角，（8分）
则有

C1G

C1F

=

4 10

15

，C₁G=

4 10

15

C₁F，
△A₁B₁C₁中，取B₁C₁的中点D₁，连A₁D₁，
设B₁F=x，由C₁G•A₁B₁=B₁C₁•A₁D₁，
解得x=1，∴BB₁=3，（10分）
∴三棱柱的体积V=

1

2

B₁G•A₁D₁•BB₁=6

2

．（12分）

点评：本题考查满足条件的线段的比值的求法，考查三飘棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用．