Question

4．已知点A，B分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，椭圆上的点到点M的距离d的最小值（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{3}}{5}$
• B． $\sqrt{15}$
• C． -1
• D． 1

Answer 1

分析 先求出PA、F的坐标，设出P的坐标（m，n），求出$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{FP}$的坐标，由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{m}^{2}}{36}+\frac{{n}^{2}}{20}=1}\\{（m+6）（m-4）+{n}^{2}=0}\end{array}\right.$且y＞0，解方程组求得点P的坐标；求出直线AP的方程，设点M的坐标，由M到直线AP的距离等于|MB|，求出点M的坐标，再求出椭圆上的点到点M的距离d的平方得解析式，配方求得最小值．

解答 解：由已知可得点A（-6，0），F（4，0），
设点P（m，n），则$\overrightarrow{AP}$=（m+6，n），$\overrightarrow{FP}$=（m-4，n）．
由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{m}^{2}}{36}+\frac{{n}^{2}}{20}=1}\\{（m+6）（m-4）+{n}^{2}=0}\end{array}\right.$且n＞0，
化为2m²+9m-18=0，解得m=$\frac{3}{2}$，或m=-6．
由于n＞0，只能m=$\frac{3}{2}$，于是n=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．
∴点P的坐标是（$\frac{3}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）．
直线AP的方程y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+6），
即x-$\sqrt{3}$y+6=0．  
设点M（t，0），则M到直线AP的距离是$\frac{|t+6|}{2}$，
于是$\frac{|t+6|}{2}$=|6-t|，又-6≤t≤6，解得t=2，故点M（2，0）．
设椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d，有：
d²=（x-2）²+y² =x²-4x+4+20-$\frac{5}{9}$x² =$\frac{4}{9}$（x-$\frac{9}{2}$）²+15，
∴当x=$\frac{9}{2}$时，d取得最小值$\sqrt{15}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的简单性质和点到直线的距离公式，两个向量垂直的性质，求出点M的坐标，是解题的难点．