Question

12．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=$\frac{1}{2}{S_n}$+1（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₂a_n，c_n=$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，求数列{c_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．
92）利用对数的运算性质、“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）由题意，${a_n}=\frac{1}{2}{S_n}+1$，
∴${a_{n-1}}=\frac{1}{2}{S_{n-1}}+1$（n≥2，n∈N*），
两式相减：得${a_n}-{a_{n-1}}=\frac{1}{2}{a_n}$，
即a_n=2a_n-1，
又${a_1}=\frac{1}{2}{S_1}+1$，∴a₁=2，
∴数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴${a_n}={2^n}$．
（2）由（1）可得，${b_n}={log_2}{a_n}={log_2}{2^n}=n$，
∴${c_n}=\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${T_n}=（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”方法、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．