Question

已知函数f(x)=ax+

1

x

且a＞0
（Ⅰ）若曲线f（x）在（1，f（1））处的切线与y=x平行，求实数a的值．
（Ⅱ）若x∈（0，2]，求函数f（x）的最小值．
（Ⅲ）设函数g(x)=

1

x

+lnx，若f（x）与g（x）的图象在区间（1，e²）上有两个不同的交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）曲线f（x）在（1，f（1））处的切线与y=x平行，可求出此点处的导数，令导数为1即可解出实数a的值；
（Ⅱ）可利用导数研究函数在（0，2]的单调性，确定出函数f（x）的最小值，即可求出函数的最小值；
（Ⅲ）设函数g(x)=

1

x

+lnx，f（x）与g（x）的图象在区间（1，e²）上有两个不同的交点，即h（x）=f（x）-g（x）=ax-lnx（x＞0）有两个零点，故可利用导数研究出函数的单调性，找出函数h（x）有两个零点的条件，由此条件解出实数a的取值范围；

解答：解（Ⅰ）f′(x)=a-

1

x2

=

ax2-1

x2

（2分）
依题意f′（1）=a-1=1
故a=2（3分）
（Ⅱ）f′(x)=a-

1

x2

=

ax2-1

x2

当x∈(0，

a

a

)时，f′（x）＜0，即f（x）在(0，

a

a

)上单调递减
当x∈(

a

a

，+∞)时，f′（x）＞0，即f（x）在(

a

a

，+∞)上单调递增 （4分）
（1）当

a

a

≥2，即0＜a≤

1

4

时，
可知f（x）在（0，2]是减函数，
故 x=2时 f（x）_min=2a+

1

2

（2）当0＜

a

a

＜2，即a＞

1

4

时，
可知f（x）在(0，

a

a

)递减，在(

a

a

，2)递增，故x=

a

a

时 f（x）_min=2

a

．
综上所述，当0＜a≤

1

4

时，f（x）_min=2a+

1

2

；a＞

1

4

时，f（x）_min=2

a

．
（8分）
（Ⅲ）设h（x）=f（x）-g（x）=ax-lnx（x＞0），
则 h′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

令h′（x）=0，得x=

1

a

由h′（x）＜0，得0＜x＜

1

a

，所以h（x）的减区间(0，

1

a

)；
由h′（x）＞0，得x＞

1

a

，所以h（x）的增区间(

1

a

，+∞)．
所以当x=

1

a

，h（x）取极小值h(

1

a

)且h(

1

a

)=1+lna．
f（x）与 g（x）的图象在（1，e²）上
有两个不同的交点等价于h（x）在（1，e²）上有两个不同零点．
故只需

1＜ 1 a ＜e2 h( 1 a )＜0 h(1)＞0 h(e2)＞0

，解得

2

e2

＜a＜

1

e

故实数a的取值范围是(

2

e2

，

1

e

)．（12分）

点评：本考查利用导数求函数的单调性，研究函数的极值、最值，考查了转化的思想及判断推理的能力，解题的关键是熟练掌握导数与函数单调性的关系及函数最值的判断方法，本题计算量大，易出错，做题时要严谨