Question

函数y=f（x）的图象连续且在区间[a，b]上的左右端点分别为A和B，点M（x₀，y₀）是该图象上的一点，且x₀=λa+（1-λ）b，λ∈[0，1]，令向量

ON

=λ

OA

+(1-λ)

OB

，若|

MN

|有最大值k，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数f（x）=x²+1在区间[0，1]上“k阶线性近似”，则实数k=

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：转化思想,函数的性质及应用

分析：由题意可得，若A、B是f（x）=x²+1图象上横坐标分别为a、b的两点，则A（0，1），B（1，2），由两点式求出AB的方程，代入|

MN

|=|x²+1-x-1|求其最大值得答案．

解答： 解：由题意，M、N横坐标相等，|

MN

|有最大值k，则为|

MN

|的最大值，
函数f（x）=x²+1在区间[0，1]上“k阶线性近似”，
由A、B是其图象上横坐标分别为a、b的两点，则A（0，1），B（1，2），
∴直线AB方程为y=x+1
∴|

MN

|=|x²+1-x-1|=|x²-x|∈[0，

1

4

]．
∴实数k=

1

4

．
故答案为：

1

4

．

点评：题考查向量知识的运用，考查函数最值求解，解答的关键理解新概念，将已知条件进行转化，是难题．