Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，!F为其左焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=

π

6

，则该椭圆的离心率为（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  3

  -1
• C、

  3

  3

• D、1-

  3

  2

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：数形结合,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据对称性得出四边形AF₂BF₁为矩形，设AF₁=x，则BF₁=

3

x，运用矩形的几何性质，得出边长，
再运用定义判断得出（

3

+1）c=2a，即可求解离心率．

解答： 解：椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，
F₁（-c，0），F₂（c，0）A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），
∵AF⊥BF，设∠ABF=

π

6

，
∴根据椭圆的对称性可知：四边形AF₂BF₁为矩形，
∴∴AF₂=BF₁=

3

x，F₁F₂=2x
∴x+

3

x=2a．F₁F₂=2c=2x，
∴（

3

+1）c=2a，
∴

c

a

=

2

3 +1

=

3

-1

点评：本题考察了椭圆的几何性质，定义，解直角三角形，矩形的几何性质，运用数形结合数学解决代数问题，属于中档题．